تا چند وقت پیش وقتی احتمال 1 رو می دیدم به اطمینان صد در صد فکر می کردم اصلا از صور با احتمال 1 خیلی جاها استفاده می شه ( مثلا در تعریف کامل بودن متغیر تصادفی و...) چند وقت پیش به مسئله ای برخوردم که نظرمو در رابطه با احتمال های 0 و 1 عوض کرد . و این مفهوم رو یاد آوری کرد که احتمال 1 زمانی پیشامد قطعی است که فضای نمونه باشد در عین حال یک  پیشامد می تواند دارای احتمال 1 باشد در حالی که قطعی نباشد! به مسئله زیر توجه کنید.

عددی را به تصادف از بازه (1و0) انتخاب می کنیم. احتمال اینکه این عدد گویا باشد چه قدر است؟ احتمال این که این عدد اصم باشد چه قدر است؟

جواب : چون مجموعه اعداد گویا شماراست فرض می کنیم

Q = {r₁ , r₂ ,…}

 مجموعه اعداد گویا واقع در بازه (1و0) باشند. در این صورت،

P(Q) = P( {r₁ , r₂ ,…} ) =  Σ P( {r_i} ) = 0

اگر I مجموعه اعداد اصم واقع در بازه باشد داریم

P( I ) = P( Q^c ) = 1 – P( Q ) = 1

خوب به نظر شما این 0 و 1 جالب نیست ؟!!! اگر بخواهیم غیر دقیق صحبت کنیم به این مفاهیم می رسیم در انتخاب عدد از بازه احتمال گویا بودنش 0 است در حالی که بی نهایت عدد گویا داریم. همچنین چون احتمال اصم بودنش ۱ است مطمئن هستیم که عدد اصم خواهد بود که باز قبول کردنش سخته! مشکل از این جا ناشی می شود که اعداد گویا با وجود نامتناهی بودنش شماراست حال آن که اعداد اصم نامتناهی است و نا شمارا ! ( چون اعداد حقیقی ناشماراست و اجتماع گویا و اصم حقیقی می باشد ) به علاوه ثابت می شود که مجموعه اعداد گویا  این بازه را با بازه های بازی می توان پوشانید که مجموع شعاع آن ها به ازای هر ε مثبت کمتر از ε باشد که دلیلی دیگر برای صفر بودن احتمال است. ( البته منظور از پوشانیدن فشردگی نمی باشد چون علاوه بر این که فشرده نیستند فشرده بودنش هم فرقی به حال نمی کرد. ) و فقط منظور این است که می توان با تعداد نامتنهای از بازه های کوچک روی اعداد گویا بازه را پوشانید. ( مراجعه شود به تمرین ۱۱  صفحه ۳۸ مبانی احتمال سعید قهرمانی )

نوشته شده توسط شیبا در یکشنبه بیست و هفتم مرداد 1387

لينك ثابت