بر مبنای کامنت زیر بر آن شدم که از کتاب آمار و احتمال مقدماتی/دکتر جواد بهبودیان مفهوم امیدریاضی را بنویسم. متاسفانه دکتر بهبودیان را ندیدم! به تازگی هم به مطالعه کتاب ایشون پرداخته­ام استفاده زیادی هم از تمامی مفاهیم کتاب می­برم. مطالب بسیار روان و شیوای ایشان من را بر آن داشت که به مطالعه آمار مقدماتی بپردازم و  امیدوارم که جامعه علمی آمار کشور از برکت وجود ایشان بهره­مند گردند. آرزوی پیروزی، سلامت و سعادت برای ایشان دارم؛ از شما نیز که این کامنت را گذاشتید متشکرم.

زندگانی­تان پُر  ز ِ اُمید         سروش مهر 29/2/87

« سلام مطالب خوبی میزنید ... یه سوال ... شما دکتر بهبودیان رو از نزدیک دیدین؟؟ آدم نازنین و یک معلم عالی رتبه هستن ایشون .الان هم در دانشگاه شیراز تدریس دارن ... از اونجایی شما مطالبی از اون کتاب رو مینویسید پیشنهاد میکنم جالب ترین مفهوم اون کتاب یعنی مفهوم امید ریاضی رو که با مثالی شیوا توضیح دادن توو وبلاگ درج کنید خیلی بی نظیره من وقتی خوندمش خیلی لذت بردم»

* ~ * ~ * ~ * ~ * ~ * ~ *  ~ *  ~  * ~ *  ~ * ~ * ~ * ~ * ~ *  ~ *

زندگی روزانه علاوه بر مفاهیم پیشامد، احتمال، و متغیر تصادفی با مفهوم دیگری به­نام امید یا انتظار همراه است. در حالی که انسان همواره با امید زندگی می­کند، ولی نمی­تواند بیش از حد به بعضی رویدادها چشم امید داشته باشد. امید و انتظار هم مانند تصادف و شانس، در عین بی­نظامی، تابع نظام و قوانینی می­باشد.

از نظر تاریخی امید و انتظار مانند تصادف و احتمال از راه بازی های قمار جنبه ریاضی پیدا کرده است. برای اینکه مطلب روشن شود به بازی شیر و خط زیر توجه نمائید:

فرض کنید با خریدن یک بلیط بتوانید در یک بازی تفریحی شرکت کنید. در این بازی یک ماشین سکه انداز با فشار تکمه­ای به تصادف سه سکه با رنگ­های مختلف را باهم می­ریزد و با فشار تکمه­ای دیگر به اندازه شماره شیرها، سکه ده ریالی به شما می­پردازد.

صاحب ماشین مدعی است که اصلاً قمار و سودجویی ندارد و صرفاً می­خواهد مردم را سرگرم کند، ولی قیمت هر بلیط باید طوری باشد که بعد از چند بازی رویهم ضرر نکند. منصفانه بهای هر بلیط چقدر باید باشد؟

چون سکه­ها کاملاً به تصادف می­ریزند، احتمال اینکه شماره شیرها 0،1،2،3 شوند به­ترتیب 8/1، 8/3 ، 8/3،8/1 می­باشد. حال اگر تعدادی زیاد بلیط، مثلاً 400 بلیط، فروش رود انتظار می­رود (بنابر تعبیر احتمال با فراوانی نسبی) 50 مرتبه هیچ شیر،150 مرتبه یک شیر، 150مرتبه دو شیر، و 50 مرتبه سه شیر مشاهده شود. بنابراین انتظار می­رود که ماشین برای 400 بلیط مبلغ زیر را بپردازد:

(400×1/8×0)+(400×3/8×1)+ (400×3/8×2)+ (400×1/8×3)=600 tooman

برای اینکه صاحب ماشین نه سود نماید نه زیان، بهای هر بلیط به­طور متوسط یا منصفانه باید 1.5=400÷600 تومان باشد. بنابراین اگر 400 بلیط به مبلغ 600 تومان فروخته شود انتظار می­رود که ماشین هم همین مبلغ را بپردازد.

در این مثال یک متغیر تصادفی X ( یعنی شماره شیرها در ریزش 3 سکه ) داریم که جدول توزیع احتمال آن به­صورت زیر است:

عدد زیر را که حقیقت معدل وزنی شماره شیرها می­باشد، امیدریاضی یا امیدX  می­نامند و با E(X) نشان می­دهند (E حرف اول کلمه Expectation به­معنای انتظار است)

E(x)= (1/8×0)+(3/8×1)+( 3/8×2) + (1/8×3)=1.5

تعبیر فراوانی E(x)=1.5 چنین  است: اگر ماشین این سه سکه را بارها مثلاً 1000 بار بریزد انتظار داریم معدل شیرها در هر بار بشود عدد 5/1.

نوشته شده توسط سپیده سروش مهر در یکشنبه بیست و نهم اردیبهشت 1387

لينك ثابت